Jak pierwiastkować liczby zespolone wzorem de Moivre'a na pierwiastki? Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną w, która podniesiona do n-tej potęgi daje liczbę z, to znaczy wn=z. Spróbujmy znaleźć sposób na obliczanie pierwiastka n-tego stopnia z liczby zespolonej z. Załóżmy, że liczba zespolona z zapisana jest w postaci trygonometrycznej z = r (cosφ + i sinφ ) Chcemy znaleźć taką liczbę zespoloną w, w postaci trygonometrycznej w = R (cosβ + i sinβ), aby wn=z. Wyliczając wn ze wzoru de Moivre'a, a następnie porównując moduły i argumenty po obu stronach równości wn=z dostajemy Rn = r oraz nβ = φ+2kp. Dodanie składnika 2kp wynika z niejednoznaczności argumentu (może się on różnić o wielokrotność 2p). Zatem: Wynika stąd, że pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej z istnieje, ale nie jest wyznaczony jednoznacznie. Wszystkie pierwiastki dostaniemy biorąc k = {0, 1, 2, ...} Wśród argumentów istnieje dokładnie n takich, których różnice nie są wielokrotnościami liczby 2p. Są to np. liczby k = {0, 1, ... , n-1}. Zatem istnieje zawsze dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z różnej od zera. Dane są one wzorami Wzór ten określamy wzorem de Moivre'a na pierwiastki z liczb zespolonych. Obliczyć pierwiastki z podanych liczb zespolonych. Dowiedz się więcej o liczbach zespolonych. Post nr 470